Решение квадратных уравнений формула виета. Теорема виета для квадратных и других уравнений

Муниципальное бюджетное общеобразовательное учреждение

«Средняя общеобразовательная школа №64» г. Брянска

Городская научно-практическая конференция

«Первые шаги в науку»

Научно-исследовательская работа

«Теорема Виета для уравнений третьей и четвертой степени»

Математика

Выполнил: ученик 11б класса

Шанов Илья Алексеевич

Научный руководитель:

учитель математики,

кандидат физ.-мат. наук

Быков Сергей Валентинович

Брянск 2012

Введение ………………………………………………………………… 3

Цели и задачи …………………………………………………………… 4

Краткая историческая справка ………………………………………… 4

Квадратное уравнение …………………………………………………. 5

Кубическое уравнение …………………………………………………. 6

Уравнение четвертой степени ………………………………………… 7

Практическая часть ……………………………………………………. 9

Список литературы …………………………………………………… 12

Приложение …………………………………………………………… 13

Введение

Основная теорема алгебры утверждает, что поле является алгебраическим замкнутым, другими словами, что уравнения n-ой степени с комплексными коэффициентами (в общем случае) над полем имеет ровно n комплексных корней. Уравнения третьей степени решаются формулой Кордано. Уравнения четвёртой степени методом Феррари. Кроме того, что в теории алгебры доказано, что если - корень уравнения, то так же является корнем этого уравнения. Для кубического уравнения возможны следующие случаи:

все три корня – действительные;

два корня комплексных, один действительный.

Отсюда следует, что любое кубическое уравнение имеет хотя бы один действительный корень.

Для уравнения четвертой степени:

Все четыре корня различные.

Два корня действительных, два – комплексных.

Все четыре корня комплексные.

Данная работа посвящена тщательному изучению теоремы Виета: её формулировке, доказательству, а так же решению задач с применением этой теоремы.

Проделанная работа направлена помощь ученика 11-х классов, которым предстоит сдача ЕГЭ, а так же для юных математиков, которым небезразличны более простые и эффективные методы решений в различных областях математики.

В приложении к этой работе предоставляется сборник задач для самостоятельного решения и закрепления нового материала, исследуемого мной.

Этот вопрос нельзя оставлять без внимания, так как он важен для математики как для науки в целом, так и для учащихся и интересующихся решение подобных задач.

Цели и задачи работы :

Получить аналог теоремы Виета для уравнения третьей степени.

Доказать аналог теоремы Виета для уравнения третьей степени.

Получить аналог теоремы Виета для уравнения четвертой степени.

Доказать аналог теоремы Виета для уравнения четвертой степени.

Рассмотреть применения данных вопросов к решению практических задач.

• Убедиться в практичности применения данной теоремы.

Углубить математические знания в области решения уравнений.

Развить интерес к математике.

Краткая историческая справка

По праву достойна в стихах быть воспета

О свойствах корней ТЕОРЕМА ВИЕТА...

ФРАНСУА ВИЕТ(1540-1603) - французский математик. По профессии юрист. В 1591 году ввёл буквенные обозначения не только для неизвестных величин, но и для коэффициентов уравнений; благодаря этому стало впервые возможным выражение свойств уравнений и их корней общими формулами. Ему принадлежит установление единообразного приёма решения уравнений 2-й, 3-й и 4-й степеней. Среди открытий сам Виет особенно высоко ценил установление зависимости между корнями и коэффициентами уравнений. Для приближённого решения уравнений с численными коэффициентами Виет предложил метод, схожий с позднейшим методом Ньютона. В тригонометрии Франсуа Виет дал полное решение задачи об определении всех элементов плоского или сферического треугольника по трём данным, нашёл важные разложения cos nх и sin nх по степеням cos х и sin х. Он впервые рассмотрел бесконечные произведения. Сочинения Виета написаны трудным языком и поэтому получили в свое время меньшее распространение, чем заслуживали.

Квадратное уравнение

Для начала вспомним формулы Виета для уравнения второй степени, которые мы узнали в программе школьного курса обучения.

Т
еорема Виета для квадратного уравнения (8 класс)

Е
сли и – корни квадратного уравнения то

т. е. сумма корней приведённого квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Так же, вспомним теорему, обратную теореме Виета :

Если числа - p и q таковы, что

то и - корни уравнения

Теорема Виета замечательна тем, что, не зная корней квадратного трехчлена, мы легко можем вычислить их сумму и произведение, то есть простейшие симметричные выражения.

Теорема Виета позволяет угадывать целые корни квадратного трехчлена.

Кубическое уравнение

Теперь перейдём, непосредственно, к постановке и решению кубического уравнения с помощью теоремы Виета.

Формулировка

К
убическое уравнение - это уравнение третьего порядка, вида

где a ≠ 0 .

Если а = 1 , то уравнение называют приведённым кубическим уравнением:

Итак, нужно доказать, что для уравнения

справедлива следующая теорема:

п
усть корни данного уравнения, тогда

Доказательство

Представим многочлен

выполним преобразования:

Итак, получим, что

Два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях.

Это значит, что

Что и требовалось доказать.

Теперь рассмотрим теорему, обратную теореме Виета для уравнения третьей степени .

Ф
ормулировка

Е
сли числа таковы, что

Уравнение четвертой степени

Теперь перейдём к постановке и решению уравнения четвертой степени с помощью теоремы Виета для уравнения четвертой степени.

Формулировка

У
равнение четвертой степени - уравнение вида

г
де a ≠ 0 .

Е
сли а = 1 , то уравнение называют приведённым

И
так, докажем, что для уравнения

с
праведлива следующая теорема: пусть корни данного уравнения, тогда

Доказательство

Представим многочлен

выполним преобразования:

Итак, получим, что

Мы знаем, что два многочлена равны тогда и только тогда, когда равны их коэффициенты при соответствующих степенях.

Это значит, что

Что и требовалось доказать.

Рассмотрим теорему, обратную теореме Виета для уравнения четвёртой степени .

Формулировка

Если числа таковы, что

то эти числа являются корнями уравнения

Практическая часть

Теперь рассмотрим решения задач, с помощью теорем Виета для уравнений третьей и четвертой степени.

Задача №1

Ответ: 4, -4.

Задача №2

Ответ: 16, 24.

Для решения данных уравнений можно использовать формулы Кардано и метод Феррари соответственно, но, используя теорему Виета, мы заведомо знаем сумму и произведение корней этих уравнений.

Задача №3

Составить уравнение третьей степени, если известно, что сумма корней равна 6, по парное произведение корней равно 3, а произведение -4.

Составим уравнение, получим

Задача №4

Составить уравнение третьей степени, если известно, что сумма корней равна 8 , по парное произведение корней равно 4 , утроенные произведение равно 12 , а произведение 20 .

Решение: пользуясь формулой Виета, получим

Составим уравнение, получим

С помощью теоремы Виета мы легко составили уравнения по их корням. Это самый рациональный способ решения данных задач.

Задача №5

где a, b, c – формулы Герона.

Раскроем скобки и преобразуем выражение, получим

З
аметим, что подкоренное выражение является кубическим выражением . Воспользуемся теоремой Виета для соответствующего ему кубического уравнения, тогда имеем, что

З

ная, что получим:

Из решения этой задачи видно, что теорема Виета применима к задачам из разных областей математики.

Заключение

В данной работе был исследован метод решения уравнения третьей и четвертой степеней с помощью теоремы Виета. Выведенные в работе формулы просты в использовании. В ходе исследования стало очевидно, что в некоторых случаях этот метод эффективен больше, чем формула Кордано и метод Феррари для уравнений третьей и четвёртой степеней соответственно.

Теорема Виета была применена на практике. Был решён ряд задач, которые помогли лучше закрепить новый материал.

Это исследование было для меня очень интересным и познавательным. Углубив свои знания в математике, я открыл много интересного и с удовольствием занимался данным исследованием.

Но мое исследование в области решения уравнений на этом не закончено. В будущем я планирую заняться исследованием решения уравнения n-ой степени с помощью теоремы Виета.

Хочу выразить огромную благодарность своему научному руководителю, кандидату физико-математических наук, а возможность такого необычного исследования и постоянное внимание в работе.

Список литературы

Виноградов И.М. Математическая энциклопедия. М., 1977.

В. Б. Лидский, Л. В. Овсянников, А. Н. Тулайков, М. И. Шабунин. Задачи по элементарной математике, Физматлит, 1980.

Теорема Виета часто используется для проверки уже найденных корней . Если вы нашли корни, то сможете с помощью формул \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вычислить значения \(p\) и \(q\). И если они получатся такими же как в исходном уравнении – значит корни найдены верно.

Например, пусть мы, используя , решили уравнение \(x^2+x-56=0\) и получили корни: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Проверим, не ошиблись ли мы в процессе решения. В нашем случае \(p=1\), а \(q=-56\). По теореме Виета имеем:

\(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}7+(-8)=-1\\7\cdot(-8)=-56\end{cases}\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin{cases}-1=-1\\-56=-56\end{cases}\)

Оба утверждения сошлись, значит, мы решили уравнение правильно.

Такую проверку можно проводить устно. Она займет 5 секунд и убережет вас от глупых ошибок.

Обратная теорема Виета

Если \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\), то \(x_1\) и \(x_2\) – корни квадратного уравнения \(x^2+px+q=0\).

Или по-простому: если у вас есть уравнение вида \(x^2+px+q=0\), то решив систему \(\begin{cases}x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end{cases}\) вы найдете его корни.

Благодаря этой теореме можно быстро подобрать корни квадратного уравнения, особенно если эти корни – . Это умение важно, так как экономит много времени.

Пример . Решить уравнение \(x^2-5x+6=0\).

Решение : Воспользовавшись обратной теоремой Виета, получаем, что корни удовлетворяют условиям: \(\begin{cases}x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end{cases}\).
Посмотрите на второе уравнение системы \(x_1 \cdot x_2=6\). На какие два можно разложить число \(6\)? На \(2\) и \(3\), \(6\) и \(1\) либо \(-2\) и \(-3\), и \(-6\) и \(-1\). А какую пару выбрать, подскажет первое уравнение системы: \(x_1+x_2=5\). Походят \(2\) и \(3\), так как \(2+3=5\).
Ответ : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Примеры . Используя теорему, обратную теореме Виета, найдите корни квадратного уравнения:
а) \(x^2-15x+14=0\); б) \(x^2+3x-4=0\); в) \(x^2+9x+20=0\); г) \(x^2-88x+780=0\).

Решение :
а) \(x^2-15x+14=0\) – на какие множители раскладывается \(14\)? \(2\) и \(7\), \(-2\) и \(-7\), \(-1\) и \(-14\), \(1\) и \(14\). Какие пары чисел в сумме дадут \(15\)? Ответ: \(1\) и \(14\).

б) \(x^2+3x-4=0\) – на какие множители раскладывается \(-4\)? \(-2\) и \(2\), \(4\) и \(-1\), \(1\) и \(-4\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-3\)? Ответ: \(1\) и \(-4\).

в) \(x^2+9x+20=0\) – на какие множители раскладывается \(20\)? \(4\) и \(5\), \(-4\) и \(-5\), \(2\) и \(10\), \(-2\) и \(-10\), \(-20\) и \(-1\), \(20\) и \(1\). Какие пары чисел в сумме дадут \(-9\)? Ответ: \(-4\) и \(-5\).

г) \(x^2-88x+780=0\) – на какие множители раскладывается \(780\)? \(390\) и \(2\). Они в сумме дадут \(88\)? Нет. Еще какие множители есть у \(780\)? \(78\) и \(10\). Они в сумме дадут \(88\)? Да. Ответ: \(78\) и \(10\).

Необязательно последнее слагаемое раскладывать на все возможные множители (как в последнем примере). Можно сразу проверять дает ли их сумма \(-p\).

Важно! Теорема Виета и обратная теорема работают только с , то есть таким, у которого коэффициент перед \(x^2\) равен единице. Если же у нас изначально дано не приведенное уравнение, то мы можем сделать его приведенным, просто разделив на коэффициент, стоящий перед \(x^2\).

Например , пусть дано уравнение \(2x^2-4x-6=0\) и мы хотим воспользоваться одной из теорем Виета. Но не можем, так как коэффициент перед \(x^2\) равен \(2\). Избавимся от него, разделив все уравнение на \(2\).

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Готово. Теперь можно пользоваться обеими теоремами.

Ответы на часто задаваемые вопросы

Вопрос: По теореме Виета можно решить любые ?
Ответ: К сожалению, нет. Если в уравнении не целые или уравнение вообще не имеет корней, то теорема Виета не поможет. В этом случае надо пользоваться дискриминантом . К счастью, 80% уравнений в школьном курсе математике имеют целые решения.

Перед тем как перейти к теореме Виета, введем определение. Квадратное уравнение вида x ² + px + q = 0 называется приведенным. В этом уравнении старший коэффициент равен единице. Например, уравнение x ² — 3x — 4 = 0 является приведенным. Всякое квадратное уравнение вида ax ² + bx + c = 0 можно сделать приведенным, для этого делим обе части уравнения на а ≠ 0. Например, уравнение 4x ² + 4x — 3 = 0 делением на 4 приводится к виду: x ² + x — 3/4 = 0. Выведем формулу корней приведенного квадратного уравнения, для этого воспользуемся формулой корней квадратного уравнения общего вида: ax ² + bx + c = 0

Приведенное уравнение x ² + px + q = 0 совпадает с уравнением общего вида, в котором а = 1, b = p , c = q. Поэтому для приведенного квадратного уравнения формула принимает вид:

последнее выражение называют формулой корней приведенного квадратного уравнения, особенно удобно пользоваться этой формулой когда р — четное число. Для примера решим уравнение x ² — 14x — 15 = 0

В ответ запишем уравнение имеет два корня.

Для приведенного квадратного уравнения с положительным справедлива следующая теорема.

Теорема Виета

Если x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0, то справедливы формулы:

x 1 + x 2 = — р

x 1 * x 2 = q, то есть сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, а произведение корней равно свободному члену.

Исходя из формулы корней приведенного квадратного уравнения имеем:

Складывая эти равенства, получаем: x 1 + x 2 = —р.

Перемножая эти равенства, по формуле разности квадратов получаем:

Отметим, что теорема Виета справедлива и тогда, когда дискриминант равен нулю, если считать, что в этом случае квадратное уравнение имеет два одинаковых корня: x 1 = x 2 = — р /2.

Не решая уравнения x ² — 13x + 30 = 0 найдем сумму и произведение его корней x 1 и x 2 . этого уравнения D = 169 — 120 = 49 > 0, поэтому можно применить теорему Виета: x 1 + x 2 = 13, x 1 * x 2 = 30. Рассмотрим еще несколько примеров. Один из корней уравнения x ² — рx — 12 = 0 равен x 1 = 4. Найти коэффициент р и второй корень x 2 этого уравнения. По теореме Виета x 1 * x 2 = — 12, x 1 + x 2 = — р. Так как x 1 = 4, то 4x 2 = — 12, откуда x 2 = — 3, р = — (x 1 + x 2) = — (4 — 3) = — 1. В ответ запишем, второй корень x 2 = — 3, коэффициент р = — 1.

Не решая уравнения x ² + 2x — 4 = 0 найдем сумму квадратов его корней. Пусть x 1 и x 2 — корни уравнения. По теореме Виета x 1 + x 2 = — 2, x 1 * x 2 = — 4. Так как x 1 ²+ x 2 ² = (x 1 + x 2)² — 2x 1 x 2 , тогда x 1 ²+ x 2 ² =(- 2)² -2 (- 4) = 12.

Найдем сумму и произведение корней уравнения 3x ² + 4x — 5 = 0. Данное уравнение имеет два различных корня, так как дискриминант D = 16 + 4*3*5 > 0. Для решения уравнения воспользуемся теоремой Виета. Эта теорема доказана для приведенного квадратного уравнения. Поэтому разделим данное уравнение на 3.

Следовательно, сумма корней равна -4/3, а их произведение равно -5/3.

В общем случае корни уравнения ax ² + bx + c = 0 связаны следующими равенствами: x 1 + x 2 = — b/a, x 1 * x 2 = c/a, Для получения этих формул достаточно разделить обе части данного квадратного уравнения на а ≠ 0 и применить к полученному приведенному квадратному уравнению теорему Виета. Рассмотрим пример, требуется составить приведенное квадратное уравнение, корни которого x 1 = 3, x 2 = 4. Так как x 1 = 3, x 2 = 4 — корни квадратного уравнения x ² + px + q = 0, то по теореме Виета р = — (x 1 + x 2) = — 7, q = x 1 x 2 = 12. В ответ запишем x ² — 7x + 12 = 0. При решении некоторых задач применяется следующая теорема.

Теорема, обратная теореме Виета

Если числа р , q , x 1 , x 2 таковы, что x 1 + x 2 = — р, x 1 * x 2 = q , то x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Подставим в левую часть x ² + px + q вместо р выражение — (x 1 + x 2), а вместо q — произведение x 1 * x 2 . Получим: x ² + px + q = x ² — (x 1 + x 2) х + x 1 x 2 = x² — x 1 x — x 2 x + x 1 x 2 = (x — x 1) (x — x 2). Таким образом, если числа р , q , x 1 и x 2 связаны этими соотношениями, то при всех х выполняется равенство x ² + px + q = (x — x 1) (x — x 2), из которого следует, что x 1 и x 2 — корни уравнения x ² + px + q = 0. Используя теорему, обратную теореме Виета, иногда можно подбором найти корни квадратного уравнения. Рассмотрим пример, x ² — 5x + 6 = 0. Здесь р = — 5, q = 6. Подберем два числа x 1 и x 2 так, чтобы x 1 + x 2 = 5, x 1 * x 2 = 6. Заметив, что 6 = 2 * 3 , а 2 + 3 = 5, по теореме, обратной теореме Виета, получаем, что x 1 = 2, x 2 = 3 — корни уравнения x ² — 5x + 6 = 0.